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Análise combinatória

Na aula do meu curso de Raciocínio Lógico para STN, utilizei a questão abaixo, que trata de análise combinatória. A questão gerou dúvidas no fórum do curso, por isso resolvi abordá-la com maior detalhe. Segue enunciado:

(AFRFB 2009) Sabe-se que os pontos A, B, C, D, E, F e G são coplanares, ou seja, estão localizados no mesmo plano. Sabe-se, também, que destes sete pontos, quatro são colineares, ou seja, estão numa mesma reta. Assim, o número de retas que ficam determinadas por estes sete pontos é igual a:

a) 16

b) 28

c) 15

d) 24

e) 32

Resolução.

Começando com a solução apresentada em aula.

Para formar uma reta, nós precisamos de 2 pontos. Assim, o número total de retas é dado por:

clip_image002

Só que tem um problema na resolução acima. Sejam A, B, C, D os pontos coplanares. Todos os pares de pontos escolhidos entre estes 4 definem a mesma reta. Exemplo:

A, B

A, C

B, D

As retas definidas por estes 3 pares de pontos não são diferentes entre si. É a mesma reta.

Assim, nas 21 retas definidas acima, temos mais retas que as de fato existentes.

Vamos ver quantas retas foram contadas, incluindo dois pontos escolhidos entre A, B, C, D.

clip_image004

Deste modo, as 6 retas definidas pelos pares de pontos tomados entre A, B, C, D são, na verdade, 1 reta só. Ou seja, 5 retas estão “sobrando”, estão sendo contadas em excesso, indevidamente.

O número correto de retas fica:

clip_image006

Gabarito: A

A dúvida foi a seguinte: por que não fizemos a combinação de 7 pontos, tomados 4 a 4?

Nós utilizaríamos tal combinação se, de um grupo de 7 pontinhos, quiséssemos escolher 4. Mas não é o caso. O foco da questão é calcular a quantidade de retas. E cada reta é formada por dois pontinhos. São dois pontos que definem uma reta, e não 4.

Para melhor esclarecimento, considerem que temos 7 pontinhos, conforme abaixo desenhado:

atec1

 

Desenhamos 7 pontos, de modo que 4 deles são colineares, como determinado pelo enunciado. Agora nosso interesse é contar quantas retas é possível formar. Então basta irmos ligando dois pontos quaisquer, pois dois pontos definem uma reta. Abaixo, representamos as 6 primeiras retas:

atec1

Vejam que escolhemos um ponto em particular e, a partir dele, fomos traçando retas, ligando-o aos demais pontos. Então o que é relevante é de quantas formas podemos tomar dois pontinhos para formar retas (combinação de elementos, tomados 2 a 2).

Abaixo, seguem mais 5 retas:

atec1

Agora mais 4 retas:

atec1

E, finalmente, pelo fato de haver 4 pontinhos colineares, eles acabam definindo uma reta só, que é a que falta:

atec1

Total de retas: 6 + 5 + 4 + 1 = 16. São 16 retas ao todo.

Probabilidade MPOG 2005

Hoje resolvemos a seguinte questão da Esaf:

(ESAF 2005) Pedro e Paulo estão em uma sala que possui 10 cadeiras dispostas em uma fila. O número de diferentes formas pelas quais Pedro e Paulo podem escolher seus lugares para sentar, de modo que fique ao menos uma cadeira vazia entre eles, é igual a:

a) 80

b) 72

c) 90

d) 18

e) 56

Resolução:

Vamos dividir o problema em etapas. A primeira etapa vai ser escolher a cadeira de Paulo. A segunda etapa vai ser escolher a cadeira de Pedro.

Quando Paulo se senta na primeira cadeira da fila, para Pedro só há 8 opções. Pedro só pode sentar nas cadeiras de 3 a 10, de modo que haja pelo menos uma cadeira vazia entre eles.

Deste modo, alocando Paulo na primeira cadeira, há 8 modos de escolher a cadeira de Pedro.

clip_image001[5]

clip_image003[7]

Há 8 maneiras de os dois se sentarem, com Paulo na primeira cadeira, havendo pelo menos um lugar vago entre eles.

Analogamente, quando Paulo se sentar na última cadeira, Pedro só poderá se sentar nas cadeiras de 1 a 8.

clip_image004[5]

clip_image003[8]

Há 8 maneiras de os dois se sentarem, com Paulo na décima cadeira, havendo pelo menos um lugar vago entre eles.

Finalmente, Paulo ainda pode se sentar nas cadeiras de 2 a 9.

Neste caso, Pedro não poderá se sentar nem na cadeira imediatamente anterior, nem na cadeira imediatamente posterior, nem na própria cadeira escolhida por Paulo. Restarão, portanto, 7 opções de cadeira para Pedro.

clip_image005[5]

clip_image007[5]

Há 56 maneiras de Pedro e Paulo se sentarem com pelo menos uma cadeira vazia entre eles, de tal modo que Paulo ocupe uma das cadeiras de 2 a 9.

Somando tudo, temos:

clip_image009[5]

Há 72 maneiras de eles ocuparem as cadeiras, deixando um lugar vazio entre eles.

Permutação circular–AFRFB 2009

Hoje resolvo uma questão que gerou muita dúvida em meu curso para o AFRFB.

Segue enunciado:

(ESAF – AFRFB 2009) De quantas maneiras podem sentar-se três homens e três mulheres em uma mesa redonda, isto é, sem cabeceira, de modo a se ter sempre um homem entre duas mulheres e uma mulher entre dois homens?

a) 72

b) 36

c) 216

d) 720

e) 360

Resolução.

Primeiro apresento a solução dada em aula.

Quando a questão diz que a mesa é circular, significa que, de início, todos os lugares são equivalentes entre si. Não há uma referência, algo que diferencie um lugar do outro.

clip_image001

Vamos alocar o primeiro homem. Há 6 opções de lugar para ele, mas todos são equivalentes, pois todos os lugares são vistos como “iguais”, já que não há uma referência, algo que os diferencie.

clip_image002

Posicionado o primeiro homem, agora nós criamos uma referência. Este homem será a referência. Temos agora um lugar à sua esquerda, outro à sua direita, outro que lhe é oposto, e assim por diante.

Vamos preencher o lugar à esquerda deste homem. Neste lugar, só podemos alocar mulheres, pois homens e mulheres devem se sentar alternadamente. Assim, há 3 formas de preenchermos esta cadeira.

clip_image003

Vamos agora para o lugar seguinte. Ele só pode ser ocupado por um homem, pois homens e mulheres devem se sentar de maneira alternada. Tínhamos 3 homens, mas já alocamos 1. Faltam 2. Com isso, há duas formas de executarmos esta etapa.

clip_image004

Para o lugar seguinte, temos duas opções de mulher.

clip_image005

Com o mesmo raciocínio, preenchemos os demais lugares:

clip_image006

O número de maneiras de alocar estas seis pessoas é dado por:

clip_image008

Como não há alternativa correta, a questão foi anulada.

Gabarito: anulado

Muito bem. A maior dúvida que surgiu em aula foi: por que é que, para alocar o primeiro homem, não podemos considerar que temos 3 opções diferentes?

Muito bem, façamos isso. Se essa fosse a solução, teríamos:

clip_image010

Seriam 36 configurações possíveis.

Vamos focar em uma delas:

clip_image011

Estou considerando que “A”, “C” e “E” são homens. O homem sempre ocupa a posição “meio-dia” do relógio. “B”, “D” e “F” são mulheres.

Agora observem a configuração abaixo:

clip_image012

Agora vejam outro caso:

clip_image013

Observem que essas três configurações são idênticas.

Isso porque não há referência física fora da mesa. Só o que importa é a posição relativa entre as pessoas.

Em todos os casos, “F” está na frente de “C”. “A” está entre “B” e “F”. “E” tem “F” à sua esquerda e “D” à sua direita. E assim por diante. Ou seja, os posicionamentos relativos não mudaram. Simplesmente demos um “giro” na mesa. Simplesmente rodamos as pessoas em círculo. Isso não altera o posicionamento relativo entre elas. Por isso temos uma permutação circular.

Todas essas 3 configurações, na verdade, correspondem a 1 só.

Então cada configuração foi contada repetidas vezes. Foi contada 3 vezes mais do que deveria. Por isso temos que dividir o resultado obtido por 3:

clip_image015

Que resulta novamente em 12

Resumo da ópera: na permutação circular, aloque a primeira pessoa. Assim você terá uma referência para alocar as demais. Pronto. Daí sim, continue resolvendo o exercício normalmente.

Para mais questões de concursos comentadas, veja também TecConcursos.

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